سلام،
همونطور که چند نفر در پیامهاشون ذکر کردند جواب بینهایته. وقتی دونده دوم به نصف مسیر میرسد دونده اول در خط پایان قرار دارد.
موفق باشید
-امیر
سلام
همونطور که خانم آزاده در پیامشون ذکر کردند این مسئله ۱۰ دسته جواب دارد.کافیست a^2-b^2 را بصورت (a-b)*(a+b) بنویسیم. از طرفی اگر 81 را میتوانیم به 10 حالت مختلف بصورت ضرب دو عدد صحیح بنویسیم. دقت کنید که از اعداد منفی نیز میتوانید استفاده کنید. بنابراین مسئله ۱۰ جواب مختلف دارد.
مثلا ۸۱ برابر است ۳*۲۷ بنابراین میتوانیم بصورت زیر عمل کنیم:
(a-b)=۲۷
(a+b)=۳
شما هم اگر مسائلی مشابه سراغ دارید، لطفا آنرا به من ایمیل کنید تا در این وبلاگ آنرا به بحث و بررسی بگذاریم.
موفق باشید
-امیر
۹ ها را بشمارید
الف - فرض کنید که اعداد از 1 تا 100 تا تایپ میکنید. عدد 9 را چند بار تایپ میکنید؟
ب – برای اعداد از 1 تا 1000 چطور؟
ج - برای اعداد اعداد از 1 تا n ^ 10 چطور؟ (هم فرمول را بدست آورید و هم اثبات درستی)
الف) هر عدد دو رقمی یک رقم یکان دارد و یک رقم دهگان. اگر عددمان دو رقمی باشد، وقتی یکان رقم ۹ است، برای دهگان ۱۰ حالت مختلف وجود دارد (عدد ۹ را یک عدد دو رقمی در نظر بگیرید که دهگانش صفر است). بدلیل مشابه ۱۰ عدد داریم که رقم دهگانشان ۹ است. دقت کنید که عدد ۹۹ به هر دو دسته تعلق دارد. پس جواب ۱۰ + ۱۰ = ۲۰ است.
ب) برای اعداد سه رقمی به روشی مشابه عمل میکنیم. اگر عددمان سه رقمی باشد، وقتی یکان ۹ است، برای ترکیب دهگان و صدگان ۱۰۰ حالت مختلف وجود دارد. پس ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که یکانشان رقم ۹ است. بدلیل مشابه ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که دهگانشان رقم ۹ است و ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که صدگانشان رقم ۹ است. پس جواب ۱۰۰ + ۱۰۰ + ۱۰۰ = ۳۰۰ میباشد.
ج) راه حل کلی :
سئوال : برای نوشتن اعداد از یک تا 10^n چند بار باید عدد ۹ را بنویسیم؟
پاسخ: تمام اعداد را n رقمی در نظر بگیرید. مثلا ۱ را بصورت ( ۱ – n ) صفر و عدد یک در نظر بگیرید. ۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱
حال ما (10^n ) عدد داریم و هر عدد n رقم دارد، بنابراین در کل ( n * 10 ^ n ) رقم مینویسیم. از آنجاییکه تعداد دفعاتی که رقمهای مختلف را مینویسیم برابر است در یک دهم از حالات بالا رقم ۹ را مینویسیم که میشود ( n * 10 ^ ( n – 1 .
موفق باشید
-امیر کاشانی
حداقل به چند وزنه نیاز داریم؟
اول از همه اجازه بدید ببینیم حداقل به چند وزنه نیاز داریم. ترازو دو کفه دارد، یک کفه که در آن فقط وزنه ها را میگذاریم و یک کفه که در آن میوه ها و یا ترکیبی از میوه ها و وزنه ها را میگذاریم. کفه اولی را کفه وزنه و کفه دیگر را کفه میوه مینامیم. بدیهی است که مجموع وزن وزنه ها در کفه وزنه باید بیشتر از مجموع وزن وزنه ها در کفه میوه باشد (؟). پس هر وزنه را به 3 صورت میتوان استفاده کرد. میتوانیم آنرا در کفه وزنه بگذاریم، میتوانیم آنرا در کفه میوه بگذاریم و میتوانیم اصلا آن وزنه را استفاده نکنیم. بنابراین وقتی 4 وزنه داشته باشیم در مجموع میتوانیم انها را به 81 طریق مختلف استفاده کنیم(3*3*3*3). از این 81 حالت یک حالت مربوط به وقتی است که هیچ وزنه ای را استفاده نمیکنیم. میماند 80 حالت. از این 80 حالت، در 40 حالت کفه وزنه سنگینتر است و در 40 حالت کفه میوه که این 40 حالت اخیر نیز بدرد ما نمیخورند. پس کلا از 81 حالت موجود تنها 40 حالت قابل استفاده است. بنابراین برای حل این مسئله ما حداقل به 4 وزنه احتیاج داریم.
حل مسئله:
اول یک وزنه یک کیلویی در نظر میگیریم. با این وزنه فقط میتوانیم یک کیلو میوه را وزن کنیم. برای وزن کردن دو کیلو میوه میتوانیم از یک وزنه 3 کیلویی استفاده کنیم. وزنه 3 کیلویی را در کفه وزنه و وزنه 1 کیلویی را در کفه میوه میگذاریم. پس تا اینجا با دو وزنه 1 و 3 کیلویی میتوانیم از 1 تا 4 کیلو را اندازه بگیریم. برای اندازه گرفتن 5 کیلو میتوانیم از یک وزنه 9 کیلویی استفاده کنیم. حال با کمک وزنه 9 کیلویی میتوانیم از 4-9 کیلو تا 4+9 کیلو اندازه بگیریم. پس با استفاده از وزنه های 1، 3، و 9 کیلویی میتوانیم از یک کیلو تا 13 کیلو را اندازه بگیریم. بطریق مشابه برای اندازه گرفتن 14 کیلو میتوانیم از یک وزنه 27 کیلویی استفاده کنیم. حال با کمک وزنه 27 کیلویی میتوانیم از 13-27 کیلو تا 13+27 کیلو اندازه بگیریم. پس با استفاده از وزنه های 1، 3، 9، و 27 کیلویی میتوانیم از یک کیلو تا 40 کیلو را اندازه بگیریم.
برای علاقه مندان به ریاضی:
فرض کنید میخواهید ترکیب وزنه ها برای اندازه گیری یک وزن خاص را میخواهید بدست آورید. عدد مطلوب را در مبنای 3 بنویسید. سمت راست ترین رقم نماینده وزنه یک کیلویی، رقم بعدی نماینده وزنه 3 کیلویی، رقم بعدی نماینده وزنه 9 کیلویی، و رقم بعدی نماینده وزنه 27 کیلویی است. حال باید کاری کنیم که همه رقمها 1، 0، و یا 1- شوند. برای اینکار اگر رقمی 2 است، بجاش 1- بنویسید و به رقم سمت چپ آن رقم یک واحد اضافه کنید. در انتها اگر رقمی 1 است آنرا در کفه وزنه قرار دهید، اگر صفر است آنرا استفاده نکنید و اگر 1- است آنرا در کفه میوه قرار دهید.
مثلا برای اندازه گیری 14 کیلو:
14 در مبنای 3 مساوی است با : (2)(1)(1)(0)
مساوی است با (1-)(2)(1)(0)
مساوی است با (1-)(1-)(2)(0)
مساوی است با (1-)(1-)(1-)(1)
یعنی وزنه 27 کیلویی در کفه وزنه ها و وزنه های 1،3،و 9 کیلویی در کفه میوه ها.
از آنجایی که هر عدد کوچکتر از 40 را میتوان بصورت بالا نوشت، این روش اثبات میکند که هر عدد کوچکتر یا مساوی 40 قابل تولید کردن است. اگر وزنه 81 کیلویی را اضافه کنید میتوانید تا 121 کیلو را اندازه بگیرید. بطور کلی اگر از n وزنه استفاده کنید تا مقدار زیر را میتوانید اندازه بگیرید.
2 / ( 1 – n ^ 3 )
موفق باشید
-امیر کاشانی