حل مسئله ۹ ها را بشمارید

۹ ها را بشمارید

الف - فرض کنید که اعداد از 1 تا 100 تا تایپ میکنید. عدد 9 را چند بار تایپ میکنید؟
ب – برای اعداد از 1 تا 1000 چطور؟
ج -  برای اعداد اعداد از 1 تا n ^ 10 چطور؟ (هم فرمول را بدست آورید و هم اثبات درستی)

الف) هر عدد دو رقمی یک رقم یکان دارد و یک رقم دهگان. اگر عددمان دو رقمی باشد، وقتی یکان رقم ۹ است، برای دهگان ۱۰ حالت مختلف وجود دارد (عدد ۹ را یک عدد دو رقمی در نظر بگیرید که دهگانش صفر است). بدلیل مشابه ۱۰ عدد داریم که رقم دهگانشان ۹ است. دقت کنید که عدد ۹۹ به هر دو دسته تعلق دارد. پس جواب ۱۰ + ۱۰ = ۲۰ است.

ب) برای اعداد سه رقمی به روشی مشابه عمل میکنیم. اگر عددمان سه رقمی باشد، وقتی یکان ۹ است، برای ترکیب دهگان و صدگان ۱۰۰ حالت مختلف وجود دارد. پس ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که یکانشان رقم ۹ است. بدلیل مشابه ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که دهگانشان رقم ۹ است  و ۱۰۰ عدد سه رقمی داریم که صدگانشان رقم ۹ است. پس جواب ۱۰۰ + ۱۰۰ + ۱۰۰ = ۳۰۰ میباشد.

ج) راه حل کلی :

سئوال : برای نوشتن اعداد از یک تا 10^n  چند بار باید عدد ۹ را بنویسیم؟

پاسخ: تمام اعداد را n رقمی در نظر بگیرید. مثلا ۱ را بصورت ( ۱ – n ) صفر و  عدد یک در نظر بگیرید. ۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱

حال ما (10^n ) عدد داریم و هر عدد n رقم دارد، بنابراین در کل ( n * 10 ^ n ) رقم مینویسیم. از آنجاییکه تعداد دفعاتی که رقمهای مختلف را مینویسیم برابر است در یک دهم از حالات بالا رقم ۹ را مینویسیم که میشود ( n * 10 ^ ( n – 1 .

موفق باشید

-امیر کاشانی