حل مسئله میوه فروش و ترازوی دو کفه ای

حداقل به چند وزنه نیاز داریم؟

اول از همه اجازه بدید ببینیم حداقل به چند وزنه نیاز داریم. ترازو دو کفه دارد، یک کفه که در آن فقط وزنه ها را میگذاریم و یک کفه که در آن میوه ها و یا ترکیبی از میوه ها و وزنه ها را میگذاریم. کفه اولی را کفه وزنه و کفه دیگر را کفه میوه مینامیم. بدیهی است که مجموع وزن وزنه ها در کفه وزنه باید بیشتر از مجموع وزن وزنه ها در کفه میوه باشد (؟). پس هر وزنه را به 3 صورت میتوان استفاده کرد. میتوانیم آنرا در کفه وزنه بگذاریم، میتوانیم آنرا در کفه میوه بگذاریم و میتوانیم اصلا آن وزنه را استفاده نکنیم. بنابراین وقتی 4 وزنه داشته باشیم در مجموع میتوانیم انها را به 81 طریق مختلف استفاده کنیم(3*3*3*3). از این 81 حالت یک حالت مربوط به وقتی است که هیچ وزنه ای را استفاده نمیکنیم. میماند 80 حالت. از این 80 حالت، در 40 حالت کفه وزنه سنگینتر است و در 40 حالت کفه میوه  که این 40 حالت اخیر نیز بدرد ما نمیخورند. پس کلا از 81 حالت موجود تنها 40 حالت قابل استفاده است. بنابراین برای حل این مسئله ما حداقل به 4 وزنه احتیاج داریم.

حل مسئله:

اول یک وزنه یک کیلویی در نظر میگیریم. با این وزنه فقط میتوانیم یک کیلو میوه را وزن کنیم. برای وزن کردن دو کیلو میوه میتوانیم از یک وزنه 3 کیلویی استفاده کنیم. وزنه 3 کیلویی را در کفه وزنه و وزنه 1 کیلویی را در کفه میوه میگذاریم. پس تا اینجا با دو وزنه 1 و 3 کیلویی میتوانیم از 1 تا 4 کیلو را اندازه بگیریم. برای اندازه گرفتن 5 کیلو میتوانیم از یک وزنه 9 کیلویی استفاده کنیم.  حال با کمک وزنه 9 کیلویی میتوانیم از 4-9 کیلو تا 4+9 کیلو اندازه بگیریم. پس با استفاده از وزنه های 1، 3، و 9 کیلویی میتوانیم از یک کیلو تا 13 کیلو را اندازه بگیریم. بطریق مشابه برای اندازه گرفتن 14 کیلو میتوانیم از یک وزنه 27 کیلویی استفاده کنیم.  حال با کمک وزنه 27 کیلویی میتوانیم از 13-27 کیلو تا 13+27 کیلو اندازه بگیریم. پس با استفاده از وزنه های 1، 3، 9، و 27 کیلویی میتوانیم از یک کیلو تا 40 کیلو را اندازه بگیریم.

برای علاقه مندان به ریاضی:

فرض کنید میخواهید ترکیب وزنه ها برای اندازه گیری یک وزن خاص را میخواهید بدست آورید. عدد مطلوب را در مبنای 3 بنویسید. سمت راست ترین رقم نماینده وزنه یک کیلویی، رقم بعدی نماینده وزنه 3 کیلویی، رقم بعدی نماینده وزنه 9 کیلویی، و رقم بعدی نماینده وزنه 27 کیلویی است. حال باید کاری کنیم که همه رقمها 1، 0، و یا 1- شوند. برای اینکار اگر رقمی 2 است، بجاش 1- بنویسید و به رقم سمت چپ آن رقم یک واحد اضافه کنید. در انتها اگر رقمی 1 است آنرا در کفه وزنه قرار دهید، اگر صفر است آنرا استفاده نکنید و اگر 1- است آنرا در کفه میوه قرار دهید.

مثلا برای اندازه گیری 14 کیلو:

14 در مبنای 3 مساوی است با : (2)(1)(1)(0)

مساوی است با (1-)(2)(1)(0)

مساوی است با (1-)(1-)(2)(0)

مساوی است با (1-)(1-)(1-)(1)

یعنی وزنه 27 کیلویی در کفه وزنه ها و وزنه های 1،3،و 9 کیلویی در کفه میوه ها.

از آنجایی که هر عدد کوچکتر از 40 را میتوان بصورت بالا نوشت، این روش اثبات میکند که هر عدد کوچکتر یا مساوی 40 قابل تولید کردن است. اگر وزنه 81 کیلویی را اضافه کنید میتوانید تا 121 کیلو  را اندازه بگیرید. بطور کلی اگر از n وزنه استفاده کنید تا مقدار زیر را میتوانید اندازه بگیرید.

2 / ( 1 – n ^ 3 )

موفق باشید

-امیر کاشانی